Kako napisati eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost

Sadržaj:

Kako napisati eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost
Kako napisati eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost

Video: Kako napisati eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost

Video: Kako napisati eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost
Video: Učitajte Slike i Zaradite Novac (Zarada od Fotografija) 2024, Ožujak
Anonim

Eksponencijalne funkcije mogu modelirati brzinu promjene mnogih situacija, uključujući rast populacije, radioaktivno raspadanje, rast bakterija, složene kamate i još mnogo toga. Slijedite ove korake da biste napisali eksponencijalnu jednadžbu ako znate brzinu kojom funkcija raste ili propada i početnu vrijednost grupe.

Koraci

Metoda 1 od 2: Korištenje stope kao baze

Napišite eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost Korak 1
Napišite eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost Korak 1

Korak 1. Razmotrite primjer

Pretpostavimo da je bankovni račun otvoren s depozitom u iznosu od 1.000 USD, a kamata se sastavlja 3% godišnje. Pronađite eksponencijalnu jednadžbu koja modelira ovu funkciju.

Napišite eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost Korak 2
Napišite eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost Korak 2

Korak 2. Poznavati osnovni oblik

Oblik za eksponencijalnu jednadžbu je f (t) = P0(1+r)t/h gdje je P.0 je početna vrijednost, t je vremenska varijabla, r je stopa i h je broj potreban da se osigura da se jedinice t podudaraju s brzinom.

Napišite eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost Korak 3
Napišite eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost Korak 3

Korak 3. Uključite početnu vrijednost za P i stopa za r. Imat ćete f (t) = 1 000 (1,03)t/h.

Napišite eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost Korak 4
Napišite eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost Korak 4

Korak 4. Pronađite h

Razmislite o svojoj jednadžbi. Svake godine novac se povećava za 3%, pa se svakih 12 mjeseci novac povećava za 3%. Budući da trebate dati t u mjesecima, morate t podijeliti s 12, pa je h = 12. Vaša jednadžba je f (t) = 1 000 (1,03)t/12. Ako su jedinice iste za brzinu i priraste t, h je uvijek 1.

Metoda 2 od 2: Korištenje "e" kao baze

Napišite eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost Korak 5
Napišite eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost Korak 5

Korak 1. Shvatite što je e

Kad vrijednost e koristite kao bazu, koristite "prirodnu bazu". Korištenje prirodne baze omogućuje vam da izvučete kontinuiranu stopu rasta izravno iz jednadžbe.

Napišite eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost Korak 6
Napišite eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost Korak 6

Korak 2. Razmotrite primjer

Pretpostavimo da uzorak od 500 grama izotopa ugljika ima poluživot od 50 godina (poluraspad je količina vremena za raspadanje materijala za 50%).

Napišite eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost Korak 7
Napišite eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost Korak 7

Korak 3. Poznati osnovni oblik

Oblik za eksponencijalnu jednadžbu je f (t) = aekt gdje je a početna vrijednost, e je baza, k je stalna stopa rasta, a t je vremenska varijabla.

Napišite eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost Korak 8
Napišite eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost Korak 8

Korak 4. Uključite početnu vrijednost

Jedina vrijednost koja vam je potrebna u jednadžbi je početna stopa rasta. Dakle, uključite ga da bi dobili f (t) = 500ekt

Napišite eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost Korak 9
Napišite eksponencijalnu funkciju s obzirom na stopu i početnu vrijednost Korak 9

Korak 5. Pronađite stalnu stopu rasta

Kontinuirana stopa rasta je koliko se brzo grafikon mijenja u određenom trenutku. Znate da će se za 50 godina uzorak raspasti na 250 grama. To se može smatrati točkom na grafikonu koju možete uključiti. Dakle, t je 50. Uključite je da biste dobili f (50) = 500e50.000. Također znate da je f (50) = 250, pa zamijenite 250 s f (50) na lijevoj strani kako biste dobili eksponencijalnu jednadžbu 250 = 500e50.000. Kako biste riješili jednadžbu, najprije obje strane podijelite s 500 kako biste dobili: 1/2 = e50.000. Zatim uzmite prirodni logaritam obje strane kako biste dobili: ln (1/2) = ln (npr50.000. Pomoću svojstava logaritama izvadite eksponent iz argumenta prirodnog dnevnika i pomnožite ga s zapisnikom. Rezultat je ln (1/2) = 50k (ln (e)). Podsjetimo da je ln isto što i dnevnike te da svojstva logaritama govore da ako su osnovica i argument logaritma isti, vrijednost je 1. Stoga je ln (e) = 1. Dakle, jednadžba se pojednostavljuje na ln (1/2) = 50k, a ako podijelite s 50, naučit ćete da je k = (ln (1/2))/50. Pomoću svog kalkulatora pronađite decimalnu aproksimaciju k približno -.01386. Uočite da je ova vrijednost negativna. Ako je kontinuirana stopa rasta negativna, imate eksponencijalni pad, ako je pozitivna, imate eksponencijalni rast.

Pronađite domenu funkcije Korak 6
Pronađite domenu funkcije Korak 6

Korak 6. Uključite k vrijednost

Vaša jednadžba je 500e-.01386t.

Savjeti

  • Možda biste htjeli svoju k vrijednost pohraniti u kalkulator kako biste svoje vrijednosti mogli izračunati točnije nego s decimalnom aproksimacijom. X je lako dostupna varijabla za upotrebu jer ne morate pritisnuti "alfa" da biste došli do nje, ali ako želite prikazati jednadžbu, svakako upotrijebite varijablu koja je označena kao konstanta ili ćete ubaciti dodatno varijable.
  • Brzo ćete naučiti kada koristiti svaku metodu. Obično su problemi lakši primjenom prve metode, no ponekad znate da će vam upotreba prirodne baze kasnije olakšati izračune.

Preporučeni: